0: Всем добрый вечер. Мы продолжаем разбор 2 контрольной контрольной по дифференциальным уравнениям от анастасии владимировны. И сегодня мы будем разбирать 2 тип задачи. Это дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка в прош.

1: Раз в итоге с доской мира случились какие-то технические неполадки, если быть более точным, то у меня загружается домашняя страница, я могу открыть доску, но я на этой доске ничего не могу редактировать, могу только её перемещать. Это разум.

2: Не очень удобно, поэтому я решил перейти на другую доску. Я выбрал доску, дрочат ссылку потом на эту именно конкретную доску я оставлю в описании. Почему я остановился на ней? Потому что она обладает функцией пера, которая мне просто по себе самой очень нравится. Хотя во всем остальном

3: Нам она не такая удобная. Ну да ладно, не в этом суть. Перейдём непосредственно к задаче. Тип 2 точка 1. Это 1 подвид задачи с дифференциальными уравнением высших порядков, которые допускают понижение порядка. Как её узнать? Она бу.

4: Собой представлять? Нет, давайте сначала разберём в принципе, что такое уравнение высших порядков, уравнение высших порядков. Это когда у нас появляется игрек не с 1 штрихом, а с 2 штрихами, 3 штрихами, 4 штрихами и так далее. То бишь высокие порядки дифференцирования здесь

5: Уже нельзя обойтись решением 1 маленького интеграла. Здесь придётся интегрировать несколько раз. Чаще всего интегралов будет столько же, какой у нас порядок производной, то бишь сейчас у нас в этом конкретном примере игрек с 2 штрихами, то бишь 2 порядок производной. Значит, нам придётся интегрировать 2 раза. Это

6: Подвид 2 1 как я его назвал, прямой интеграл почему прямой интеграл? Потому что он решается просто непосредственным интегрированием в лоб.

7: Поэтому мы сейчас пойдём решать решением такого уравнения является нахождение функции игрек от икс, а дано нам сейчас именно 2 производная по иксу от игрека не будем долго размусоливать, так как это уравнение типа

8: 2, 1, то бишь прям прямой интеграл, то просто сразу возьмём интеграл интеграл от 2 производной игрека. Это будет просто 1 производная игрека по свойству производной. Поэтому сразу пишем игрек штрих равно поставим знак интеграла. 4 косинус.

9: 2 икс.

10: D x здесь мы сразу двойку вытащим из коэффициента из константы и занесём под знак дифференциала, чтобы получить под дифференциалом выражение 2 икс тогда мы имеем, что игрек штрих равно знак интеграла двойку мы ещё раз отсюда.

11: Вынесем за знак интеграла, потому что это просто коэффициент косинус 2 икс.

12: D2 икс. То есть мы получили интеграл от косинуса, и при этом под знаком дифференциала у нас аргумент этого косинуса. Значит, этот интеграл даст нам сразу же выражение синус 2 икс, и мы получаем игрек штрих равно 2.

13: Синус 2 икс плюс c1.

14: Да, ещё важно упомянуть, что так как мы тут интегрируем, то у нас всегда будут вылезать константы и число констант будет совпадать с числом интегралов, которые мы берём. То есть мы сейчас взяли 1 интеграл, у нас появилась константа 1, и так как нам нужно будет ещё 1 интеграл, у нас появятся ещё и он

15: 2 продолжим. Так нам нужно найти игрек. И у нас при этом уже есть игрек штрих, то игрек мы найдём посредством простого интегрирования оставшегося выражения, так как производная от игрек штрих, вернее интеграл от игрек штрих даст нам непосредственно игрек. Тогда мы имеем игрек. Игрек равно интеграл.

16: 2 синус 2 икс.

17: D x плюс интеграл ц. 1 д икс да, константа тоже уходит под знак нового интеграла берём 1 интеграл, тут мы получаем тоже самое выражение, что в прошлый раз. И поэтому мы здесь поступаем-таки.

18: Же образом мы заносим двойку под знак дифференциала получаем выражение интеграл синус 2 икс d2 икс.

19: И мы возьмём интеграл уже в следующей строчке здесь же мы получим снова табличный интеграл c1 the x. Он нам даст просто c1 x.

20: И теперь мы берём 1 интеграл, он нам даёт

21: Так как это снова интеграл табличного вида, мы его уже знаем. Тут у нас будет минус косинус 2 икс, потому что интеграл от синуса даёт нам минус косинус. Тогда знак интеграл уже лишний. Это будет минус косинус 2.

22: X plus c. 1 x и в результате интегрирования мы получили 2 константу плюс c2 вот и все решение этого интеграла завершено какие здесь могут быть?

23: Вариации, вариации могут только отличаться в порядке производной, то бишь в количестве интегралов, которые нам придётся взять, чтобы дойти до первообразной, но в любом случае никаких трудностей каких-то дополнительных здесь не возникнет, нам не нужно брать никак.

24: Замены. Нам не нужно изобретать какой-то паровоз. Возможно, здесь будет интеграл не из тривиальных. То есть придётся внутри интеграла проводить, заводить, вернее, переменные по дифференциал, чтобы получить нужные выражения, но

25: Это уже нарабатывается только отработкой. В целом я посмотрел по задачнику. Ничего такого страшного я там не нашёл. Если будут какие-то вопросы по конкретным номерам, то не стесняйтесь, задавайте в целом там все простое, и мы переходим ко вто

26: 2 типу сразу. 2 тип уравнений 2 вида даёт нам уравнения, которые содержат производные от игрека, начиная с некоторого порядка, но при этом не содержат производные Меньших порядков или сам игрек. Например, в данном выражении мы видим

27: Производную игрека 2 порядка, игрек 2 штриха, производную игреку 1 порядка игрек штрих. И при этом мы не видим непосредственно игрека. Я указал, что здесь вводится замена игрек штрих равно пэ от икс это немножко некорректно. На самом деле будет замена сейчас

28: Возьму перо на самом деле будет замена игрек порядка-ка это производная-ка того порядка равно п от x. Почему же я написал именно игрек штрих равно пэ от икс потому что я посмотрел по задачнику и там не

29: Было ни 1 выражения, где потребовалось бы в таком виде вводить замену игрек катого порядка равно пэ от икс встречается только игрек штрих равно пэ от икс. В задачнике были выражения, где есть игрек 3 штриха, но все они

30: Не относятся к 1 типу, то есть к прямым интегралам, которые мы просто берём, интегрируем несколько раз для 3, для 3 производной, соответственно, у нас будет 3 интегрирования и вылезет 3 константы. Но ничего особо страшного, просто

31: Чуть побольше придётся повозиться. И маловероятно, что 3 производная будет на контрольной. Теперь про конкретно вот эти задачи здесь мы вводим сейчас сотру лишнее. Здесь мы вводим замену игрек штрих на пэ от икс и тем самым мы

32: Снижаем порядок дифференциального уравнения. То есть вместо игрек 2 штриха. У нас в итоге получится конструкция, в которой будет производная 1 порядка, что значительно упростит сам процесс. Теперь, как я уже сказал, мы отличаем этот тип именно по

33: Потому что в нём нет явно заданного игрека, только производные от игрека. И при этом этих производных тут будет несколько. То есть в данном случае это будет игрек, 2 штриха и игрек штрих. Как мы поступаем? Мы берём

34: И самый маленький самую производную самого малого порядка мы представляем в виде замены пэ от икс игрек штрих равно п от x.

35: В таком случае игрек 2 штриха это будет производная по иксу от п от x, и мы тогда получим просто п штрих от икс.

36: Пэ от икс и пэ штрих от икс. Я далее буду записывать просто пэ и пэ штрих для удобства. Тогда мы перепишем наше уравнение с новыми заменами, новыми функциями и имеем п штрих от икс.

37: Умножить на икс эл эн икс.

38: Равно п. И это уравнение 1 типа, то бишь дифференциальное уравнение 1 порядка с разделяющимися переменными. Поэтому мы просто его решим как обычное дифференциальное уравнение. То есть мы все выражения содержа

39: Пэ отправим в левую часть все выражения, не содержащие пэ, мы отправим в правую часть, ну, то бишь все иксы направо, тогда мы имеем пэ штрих это просто д п под x. То есть д п п перемещаем налево делить.

40: На пэ сразу знак интеграла поставим, равно тут будет d x знак интеграла и делить на икс умножить на alan икс. Слева у нас табличный интеграл, который нам возвращает натуральную.

41: Rhythm, тп.

42: А справа у нас выражение, с которым придётся чуть чуть повозиться в данном случае мы занесём единицу делить на икс под знак дифференциала, потому что единица делить на икс это производная от натурального логарифма.

43: И отсюда.

44: 1 делить на икс д икс даст нам просто the oath н x.

45: Тогда мы получаем интеграл д. В скобках л. Н. X.

46: Делить на эл эн икс.

47: И такой интеграл даст нам логарифм от логарифма, но ничего страшного в этом нет. Теперь мы его ещё раз перепишем и получим элэн от п равно.

48: Натуральный, натуральный логарифм.

49: Здесь мы сразу в скобки логарифма запишем константу интегрирования. 1, как я уже говорил ранее, в прошлом разборе обычно мы выписываем как константу, как плюс c1, но для логарифма её удобнее записать как множитель в

50: Мент логарифма и мы получаем натуральный логарифм от c1 умножить на натуральный логарифм от икса.

51: Теперь мы потенциирует это выражение, то есть просто избавляемся от внешнего логарифма и получаем п. Равно c1 умножить на натуральный логарифм от x.

52: И таким образом мы нашли выражение п. От x и вспоминаем, что п. П. От x это на самом деле игрек штрих.

53: И поэтому, чтобы найти непосредственно игрек, нам достаточно взять интеграл от этого выражения сразу же вместо п. Мы поставим игрек штрих и перепишем в виде д игрек по d икс.

54: Д. Игрек под ix равно c1 умножить на в. X.

55: Теперь мы перенесём дэ икс в правую часть и возьмём интеграл тогда мы получаем игрек равно c1 умножить на интеграл от натурального рифма икс д икс.

56: Это выражение мы проинтегрируем по частям, мы просто представим, что вместо эл эн икс у нас натуральный логарифм от икса, это 1 функция у от x а d x это дифференциал от the от x. Ну как обычное интегрирование по частям тогда сразу же.

57: Зайдёмся замены.

58: У от икс равно l n x.

59: Тогда д от x, вернее, д от у нам даст единицу делить на икс д икс.

60: Дв. Это д. От x.

61: Тогда в это x. И отсюда мы находим, что игрек равно у умножить на the, то есть икс умножить на натуральный логарифм икс.

62: И не забываем про константу с. 1.

63: Минус опять же c1 умножить на интеграл сюда у нас пойдёт в на дду, то бишь икс умножить на 1 делить на икс д икс.

64: Очевидно, что икс умножить на 1, делить на икс, сократить единицу, и тогда мы получим просто c1 x и не забудем про 2 константу интегрирование тогда мы имеем игрек равно c1 умножить на икс натурального логарифма.

65: Икс минус c1 икс плюс c2. И на этом данный интеграл заканчивается. Это и есть наш конечный ответ. И отсюда мы уже можем смело переходить к трёт.

66: Типу, опять же, повторюсь по задачнику Рябушка во 2 типе 2 вида уравнений, то бишь уравнений высших порядков, подлежащих понижению порядка, не встречается.

67: Дифференциальных уравнений, где игрек был бы в 3 порядке, все выражения, в которых игрек был в 3 порядке по производной, они относятся к 1 типу, то бишь, где мы просто брали интеграл несколько раз, без каких-то дополнительных премудрствования. Поэтому мы смело

68: Переходим к 3 типу типу, вернее 2 точка 3, тип 2 точка 3. Это уравнение, в которых x не представлен вообще. То есть вы смотрите на уравнение и буквы х здесь тупо нет, в данном примере это задача 3 точка 8. Мы видим игрек.

69: Умножить на игрек 2 штриха плюс игрек от штрих в квадрате равно нулю то есть x здесь никак не представлен сам по себе x на самом деле есть потому что мы подразумеваем, что у нас игрек это функция игрек от икс, но конкретно здесь конкретно сейчас, в конкретный момент, мы это

70: X пока что не видим он от нас скрыт, прячется, незаметен в конечном итоге он, конечно, у нас появится, но пока что его нет, такие уравнения мы решаем через подстановку игрек от штрих, равно пэ от игрек вводим эту замену.

71: Почему он снова фиолетовый?

72: Вводим, соответственно, эту замену, пишем игрек штрих равно п от игрек.

73: Тогда мы должны также выразить через новую замену игрек 2 штриха, но у нас есть 1 нюанс если мы рассматриваем игрек 2 штрих, то производную игрека мы берём по d икс, а так как у нас п это функция от игрека напрямую протифовазе го по x мы.

74: Можем мы сделаем следующим образом. Мы говорим, что игрек 2 штриха это есть д п по д икс.

75: Мы домножаем это выражение и сразу делим на д игрек, д игрек.

76: И тогда посредством перестановки д. Игрек и the x с места на место мы получаем д. П.

77: Под игрек.

78: Умножить на дэ игрек по д икс д п по д игрек это производная от пэ по игреку, то есть просто п штрих.

79: А. Д. Игрек по d икс это игрек штрих или просто пэ. Отсюда мы получили, что игрек 2 штриха это пэ штрих умножить на пэ, это нам пригодится. В дальнейшем мы также можем выразить через аналогичные

80: Действие игрек 3 штриха, но в этом необходимости нет, потому что, как и в прошлом примере, в прошлом типе, я посмотрел, у Рябушка там нет ни 1 задачи данного типа, в которой был бы игрек, в 3 производная по игреку, так что мы пока ограничимся.

81: Пэ штрих пэ. Но опять же, повторюсь, можно также выразить данное решение для игрек. 3 штриха подставим в наше изначальное выражение полученные нами замены для пэ и имеем игрек остаётся без изменений умножить на игрек. 2 штрих это пэ штрих пэ.

82: Плюс игрек штрих в квадрате, то есть просто по квадрате.

83: Равно нулю здесь мы сразу можем сократить на пэ, потому что пэ нулю не равняется, потому что если бы у нас пэ равнялось нулю, то, в принципе, решение всего уравнения не имело бы смысла, потому что это бы автоматически привело, что игрек это является просто константой, а нас интересует.

84: Игрек как функция от x. Так что такое тривиальное решение мы не рассматриваем тогда сокращаем на п получаем игрек умножить на пэ штрих плюс п равно нулю, а так?

85: Как пэ штрих это дэ пэ по д игрек, то мы снова получили уравнение. Дифференциальное уравнение 1 порядка с разделяющимися переменными. Все, что у нас содержит пэ. Мы постараемся оставить в левой части все, что содержит игрек.

86: Мы перенесём в правую часть, потому что у нас тут игрек рассматривается как переменная, тогда мы имеем д п по д игрек.

87: Равно минус пэ делить на игрек. Переносим игрек налево, вернее игрек мы переносим направо. То есть мы д игрек перенесём направо, а п, а пэ налево. Тогда мы получаем дэ пэ.

88: Делить на pe поставим знак интеграла, равно минус знак интеграла, д игрек делить на игрек.

89: И то и другое это натуральные логарифмы, отсюда мы их получаем и имеем натуральный логарифм от п.

90: Равно минус натуральный логарифм, и сразу сюда занесём константу интегрирования c1 на игрек.

91: И для дальнейшей простоты выражения п. Мы также минус занесём под логарифм, тогда мы получаем натуральный логарифм п.

92: Равно натуральному грифу.

93: И так как мы заносим минус под логарифм, то мы, можно сказать, возводим c1 игрек в минус 1 степень единица делить на c1 игрек. Теперь мы это выражение потенциирует. То есть избавляемся от логарифма.

94: И получаем пэ равно 1 делить на ц, 1 умножить на игрек тут мы вспоминаем про нашу замену и про то, что пэ это на самом деле д игрек по d икс, там мы имеем д игрек.

95: По d икс равно 1 делить на ц, 1 умножить на игрек, и это выражение мы опять же решаем как дифференциальное уравнение 1 порядка с разделяющимися переменными.

96: Игрек мы переносим в левую часть x. Мы переносим в правую часть и получаем игрек д игрек интеграл равно 1 делить на ц. 1.

97: Умножи на интеграл а д икс.

98: Игрек д игрек нам даст игрек квадрат пополам. Это табличный интеграл.

99: Здесь мы получим икс делить на c1.

100: Плюс константа интегрирования, c2.

101: На этом решение закончилось можно оставить данное выражение в таком виде либо можно все умножить на двойку и взять корень из правого выражения, тогда мы получим игрек равно корень из 2 икс делить на c1 + 20.

102: 2. И такая, и такая запись будут достаточными, потому что нам нужно получить выражение игрек от икс. На этом решение данного уравнения заканчивается. Как видите, 2 часть. 2 вид. Вернее, он местами даже попроще и побыстрее, чем 1 вид, потому что нам

103: Здесь не пришлось прибегать к уравнениям, записью, вернее, подстановке замены вида п равно там у умножить на the и прочее, прочее, прочее здесь гораздо меньше заморочек, здесь 1 конкретная замена вводится и проводится.

104: Тут единственное, что может попасться, это может попасться выражение, где у нас 3 порядок производной по игреку, но никакого качественного изменения тут не произойдёт нам просто нужно будет интеграл взять не 2 раза, а three, естественно, констант.

105: Интегрирование у нас будет не 2, a3, но это маловероятный исход, потому что в целом по задачнику Рябушка, там все достаточно сжато по времени и получается весьма и весьма удобно и красиво. На этом разбор 2

106: Типа задач заканчивается. Он получился гораздо более компактным. Возможно, можно добавить ещё пару упражнений на разбор, но, честно говоря, я не нашёл в 3 задаче ничего интересного, сложного. Поэтому если вдруг вы бу,

107: Будете сами тренироваться, и у вас возникнут трудности с какими-нибудь задачами, то можете обратиться ко мне за советом. Я подскажу, что это за тип, какие интегралы там брать. И также дам небольшой небольшой совет для контрольной. Я крайне рекомендую распечатать в

108: Шпаргалок, таблицу интегралов, таблицу производных и основные правила дифференцирования или интегрирования, то бишь интегрирование по частям, следует запомнить.

109: И так далее. Либо в теории ожидается, конечно, что таблицы интегралов и производных мы должны знать наизусть, помнить вообще они у нас от зубов отскакивают, но будем откровенны, их чаще всего никто не запоминает. Прямо все интегралы нам вряд ли.

110: Пригодятся. В худшем случае какие-нибудь арксинусы всплывут вроде 3 25. Он как раз с арксинусом встречается. А так там чаще всего наша основная функция, это будет логарифм немножко тригонометрии всплывёт, вполне вероятно, и

111: И степенные функции. На этом, собственно говоря, все, так, что 2 разбор, вернее, 2 часть разбора. Подхо