0: Гипотеза пуанкаре а ныне теорема пуанкаре перельмана является 1 из самых фундаментальных наблюдений в топологии, и с точки зрения обычного человека она описывает мир, в котором мы живём. Ну, здесь.

1: Некоторый такой натяг существует в этих словах, но тем не менее, давайте подумаем, что мы знаем о нашем мире. Во первых, он трёхмерный. А что такое трёхмерный? Трёхмерный? Это означает, что из какой-то фиксированной точки я могу провести 3 оси.

2: Которые были бы перпендикулярны друг другу попарно. A4 ось я уже провести не могу. Ну, она как бы, да, она должна уходить в какие-то новые измерения, да, она не видна. Вот это 1 наблюдение про наш мир. Давай посмотрим ещё, какие наблюдения можно сделать. Мы, наверное,

3: Верим, что нигде нет какой-то стены, за которой вот ты шагнул, и там, ну, бездна такая, да, вот ты там пропадёшь. То есть, грубо говоря, в районе любой точки, в которой ты находишься, мир устроен совершенно одинаково, да, то есть он во все стороны вот так вот, как бы виден также.

4: Как отсюда? То есть локально он устроен, ну, как внутренность, там мячика футбольного мяча. Это свойство на научном языке звучит так наш мир является гладким трёхмерным многообразием.

5: Далее, следующий вопрос того, бесконечен наш мир или он, ну, так сказать, конечен в том смысле, что от любой точки до любой можно за какое-то конечное время добраться, может быть даже там за миллиарды миллиардов лет, но все-таки за

6: Конечное время. Ну, насколько я понимаю современную космологию, здесь я совсем не дока. И здесь надо спросить у каких-нибудь специалистов космологии именно, но вроде бы на сегодня бытует мнение, что Вселенная конечна, она

7: Огромна, но она конечна. То есть, ну, грубо говоря, если ты выбрал наугад 2 точки в нашей Вселенной, то между ними существует путь, измеряющийся конечной, длиной, так сказать, в километрах. И его, соответственно, можно за какое-то время пройти. Какие

8: Ещё свойства нашего мира мы предполагаем выполненными некоторое довольно тонкое свойство, о котором можно рассказать только путём аналогии с осязаемыми другими объектами называется односвязность что такое односвязность?

9: Рассмотрим поверхность меча не внутренность, а поверхность меча. По аналогии с нашим миром. Поверхность меча можно назвать гладким двумерным многообразием, двухмерным, то есть в каждой точке на

10: Поверхности меча, я могу провести только 2, ну, направления, которые будут друг другу перпендикулярны. A3 уже, ну, как бы я должен буду покидать эту поверхность и плоский объект, который живёт на поверхности меча, да, такой плоский, плоское разумное существо, если бы оно существовало

11: Для него бы это направление было неосязаемым, он бы не смог его наблюдать, и он бы сказал, что, ну, мой мир двумерен, потому что есть 2 прямые, перпендикулярные друг другу, которые я в каждой точке могу нарисовать. Вот, ну и поверхность меча, соответственно, она обладает, ну, как бы всеми остальными свойствами нигде не

12: Нет какого-то такого края, да, что мы взяли? Если бы мы вырезали дыру в мече, дырку, да, то мы бы пошли, подошли край, да, но на нормальном цельном мече такого края нет. Вот он конечный, да, то есть за конечное время из любой точки.

13: Mecha можно доехать до любой, хотя, если наш вот этот вот Разумный тараканчик очень маленький, он может, ну, как бы ни за какое разумное своё время жизни там или там даже за миллиард времён жизни он может до туда и не добрать.

14: Но все равно поверхность меча конечна. Вот теперь переходим к односвязности. Что такое односвязность? Давайте на поверхности меча я как-то нарисовал, ну, некоторую кривую, ну или, так скажем, положил.

15: Некоторую ниточку на поверхность меча каким-то образом может быть по диаметру, может, просто в окрестности как-то бросил, может вообще там самопересечениями как угодно бросил какую-то ниточку, я всегда могу её стянуть в 1 точечку, постепенно, так непрерывно. Вот стягивая, стягивая, стягивая

16: Я могу её стянуть в 1 точку, ну и как бы снять, убрать с меча. А вот, например, если мы рассмотрим поверхность бублика, то, что называется в математике тор таким словом, ну или камеры.

17: Ну, от машины, да, шина, шина, вот эта вот камера, все предыдущее, верно. И про неё тоже. Она, конечно, да, нигде нет никакого такого страшного края, да, то есть тот, кто живёт на этой двумерной камере, вот так, с 1

18: Он никак не отличит эту ситуацию от того, что он живёт на сфере. Ну, если он очень маленький, то вот эти изогнутости, он не замечает изогнутости. Это артефакт того, что камера вложена на самом деле в наш трёхмерный мир в четырехмерном мире, она могла бы быть совершенно такой вот, не изо

19: Нормальный, ну как бы в определённом смысле слова она бы имела совершенно другие свойства, но все равно была бы двумерной. То есть в каждой точке наблюдалось бы 2 таких направления. Ну вот, но что отличает камеру меча от сферы тем, что

20: Я могу вокруг камеры вот так вот, пропустив дырочку, завязать верёвочку и эту верёвочку я как не шевелю, я снять с камеры уже не могу. Она бегает по этой камере, да бегает туда, сюда. Я могу даже

21: Взять за эту верёвочку, вот так поднять, поддержать камеру. Камера у меня в руке будет прыгать, Верёвка не будет приклеена, но отделить их друг от друга я не могу. Вот это называется неодносвязной. То есть существуют такие петли, которые снять нельзя на сфере

22: Таких петель нет, а на камере есть, наверное, надо рассказать про историю вопроса. Вот это вот про поверхности у нас вот эту историю про поверхности, да, её хорошо разработал Леонард эйлер.

23: И он 1 сказал, чем математически можно прям 1 формулой, да, отличить поверхность меча от, от поверхности бублика. И, по сути, он основатель топологии, он вообще основател

24: Почти всех наук, которые мы сегодня изучаем в вузе, но топологию он основатель, просто вот стопудово, да, то есть он сказал, нарисуйте на сфере любой, ну, многогранник, ну вот любой, любую такую, как бы, картиночку из точек, соединяющих их отрезков.

25: Такой рисунок, детский рисунок. Посчитайте количество вершин, рёбер и граней таких лоскуточков и будет в минус р плюс г всегда равно 2 он это доказал. А если сделать тоже самое на поверхности бублика, то будет в минус р плюс гг равно нулю в

26: Количество вершин в картинке р, количество рёбер в картинке, а, г количество вот этих лоскутков, то есть граней в картиночке. То есть здесь оно равно 2, а здесь оно равно нулю. И это не зависит от картинки. Это инвариант, какую бы картинку ты не нари.

27: Это число всегда будет одинаковым на сфере и всегда будет равным 2 и всегда одинаковым на торе и всегда равным нулю. И это отличает 1 от другого. Ну, тем самым мы доказали, что эти 2 поверхности не могут быть друг друга, не

28: Но перетянуты без разрывов, без склеивания, вот так вот непрерывно, как резина, потому что, ну, если бы они были друг другу перетянуты, то картинка, которая нарисована здесь, оказалась бы картинкой, которая нарисована здесь, но тогда в процессе непрерывной вот этой перетяжки у нас же не могло меняться

29: Число вершин, рёбер и грани. Вот и противоречие его спрашивали, а зачем это вообще делать? Да, нам что, не очевидно, что вот это вот это не тоже самое, что это, ну, не знаю, что отвечал эйлер, я за него отвечу, что-то, что нам очевидно в двумерной ситуации нам абсолютно

30: Неочевидно в трехмерной, четырехмерной и так далее. В частности, нам совершенно непонятно тоже самое про наш мир, да, ну, как бы, как представить себе такой вот, типа тора, что-нибудь типа тора, только трёхмерного, это отдельно развивать в себе топологическую интуицию, это

31: Совершенно неочевидно. А если что-то неочевидно, нам нужны математические строгие формулы, которые будут работать даже там, где мы не видим, где наша интуиция проваливается. Ну вот, собственно, в этом и вопрос был. Гипотезы по Анкаре, да, то есть ещё эйлер со времён эйлера было понятно.

32: Понятно, и впоследствии там неоднократно все более строго доказано, что поверхностей двумерных, то есть которые устроены локально, как обычный лист бумаги, а глобально они нигде не имеют края и конечны в своём размере.

33: Так вот, таких поверхностей. Их целое семейство, дискретное такое семейство начинается со сферы и продолжается вот этими бубликами с дырочками. 1 дырочка. Потом можно сделать такой как бы из 2 Бубликов кренделёк, в нём 2

34: Дырки будет потом ещё 1 такую подрисовать. 3 дырка, ну и так далее. Вот эти вот сферы с ручками, как их называют учёные. И это полная классификация. То есть вот эта вся классификация поверхностей двумерных Конечных, ну, как говорят, компактных, да, многообразий.

35: Вот, и если мы наложим условия односвязности дополнительное, то есть что верёвочку, которую мы завяжем, всегда можно снять, то все вот эти вот бублики и крендельки, они сразу у нас уходят, потому что

36: Все, на всех них можно завязать верёвку, так что снять нельзя, поэтому остаётся только сфера. И здесь как бы гипотеза панка оказывается совершенно очевидной, что любое двумерное многообразие, ориентируемое, компактное, ну то есть там конечное и без, без вот этих

37: Этих пропастей, да, говоря русским языком, является сферой, обычной сферой, поверхностью обычного нашего футбольного мяча. Так, гипотеза по Анкаре состоит Ровно в том же самом только для трёхмерных поверхностей, то есть для 3

38: Мерных уже не поверхностей надо говорить, а многообразий любое трёхмерное многообразие конечное, ну, по научному компактное, которое является при этом односвязным, обязано быть.

39: Просто поверхностью четырехмерного мяча футбольного или, что эквивалентно трехмерной сферой. Ну или, грубо говоря, существует непрерывное перетаскивание этой поверхности. Такое вот

40: Без склеивания разрывов в множество, которое задаётся 1 уравнением икс квадрат плюс игрек, квадрат плюс z, квадрат плюс т квадрат равно единице в четырехмерном пространстве, ну и, соответственно, если мы верим в то, что мы

41: Живём в такой Вселенной, то есть что выполнены эти условия, да, все, которые я перечислил, но они почти все вроде как очевидны, но вот с односвязность это вопрос, да, пустим корабль, да, и за ним будет эта вот Верёвка идти, бежать. Космический корабль будет долго, долго летать, летать, летать вернетс.

42: Исходную точку, мы завяжем нитку. Почём мы уверены, что вот это все можно вот так стянуть? А вдруг он обернул как-то так вот какой-то, какую-то невидимую четырехмерную дыру, обернул, да, пока летел. В принципе у нас нет точной уверенности, но если мы в это поверим, то мы живём фактически на поверхности.

43: Трехмерной сферы, то есть на границе четырехмерного шара. Вот на этом простейшем уравнении и живём. Вот. И эта гипотеза оказалась сложнейшей теоремой, которую доказал, значит, спустя 102 года

44: По моему, она в 1000 девятьсотом году сформулирована анри пуанкаре, которого тоже считают основателем топологии, но если эйлер он как бы заложил идею топологии, то пуанкаре уже развил её до состояния точной науки, причём науки.

45: Который находится в сердце всего остального, вообще всех математических знаний. Если как бы математика это что-то устрашающее, что в сердце всех естественно научных знаний, то внутри математики есть устрашающее ядро, которое называется топология. Вот, ну и вот только спустя 102 года в 2

46: В 2002 году удалось нашему учёному Григорию переман её полностью доказать. Доказательство чрезвычайно сложное. Я его совершенно не понимаю. Вокруг этой гипотезы очень много открытых проблем. Ну и вообще, как бы топология это, ну, то, что находится в самом сердце.

47: Математики, это центральная математика, это область, которая развивается, ну, чрезвычайно активно. И вообще, как бы математика, она вечно живая, как стелла, волшебница розовой страны 3000 лет, а все молодая и молодая. Вот.

48: Математика, она вот такая, вот так вот, так сказать, вкратце о гипотезе пуанкаре, а ныне о теореме пуанкаре перельмана.